decoration
Les mathématiques ne possèdent pas seulement la vérité, mais aussi la beauté suprême – une beauté froide et austère, comme celle de la sculpture. Bertrand Russel

La géométrie non commutative

La géométrie non commutative constitue le thème central de mes recherches depuis ma thèse, et a donc fait l’objet de nombreuses de mes publications. J’ai travaillé dans différentes directions sur ce sujet, que j’expose brièvement dans ce texte, en les ayant regroupées par thèmes. Auparavant, il est utile de rappeler brièvement ce qu’est la géométrie non commutative pour comprendre comment ses thèmes s’articulent entre-eux.

La géométrie non commutative a été conçue à la fois pour répondre à des besoins en mathématiques et pour permettre d’aborder certains problèmes de physique théorique.

En mathématique, il s’agit de généraliser les outils de la géométrie ordinaire qui ont été développés depuis plus d’un siècle : structures différentiables, métriques, actions de groupes, fibrations, connexions… Ces constructions mathématiques sont désormais largement utilisées en physique théorique, et l’essentiel des théories modernes (le modèle standard des particules élémentaires, la relativité générale, la théorie quantique des champs) se fondent sur des propriétés mathématiques fines élaborées dans ce contexte. C’est à A. Connes que l’on doit, en 1985, d’avoir donné les premières voies concrètes de recherches dans le domaine de la géométrie non commutative, en définissant et en étudiant la cohomologie cyclique. Il montrait ainsi que la notion de calcul différentiel sur les variétés avait un équivalent non commutatif, au sens expliqué plus ci-dessous.

En Physique, dans les années 60 et 70, les travaux sur les théories quantiques des champs ont permis de faire émerger des notions devant faire cohabiter structures géométriques et structures algébriques : d’un côté les algèbres d’opérateurs, de l’autre les théories de jauge, c’est à dire la théorie des connexions sur les fibrés… Cependant, la plus forte motivation reste encore aujourd’hui l’espoir d’écrire une théorique quantique de la gravitation avec cette mathématique, puisque le principe fondateur de la géométrie non commutative est de fusionner dans un même cadre conceptuel l’aspect opératoriel de la mécanique quantique et l’aspect géométrique de la relativité générale (et des théories de jauges).

L’idée maîtresse de la géométrie non commutative est d’abord de caractériser une classe d’espaces « géométriques » bien particulière par un type d’algèbres de fonctions adapté, en munissant ces algèbres d’outils algébriques appropriés. Par exemple, il est possible de caractériser un espace topologique compact par son algèbre de fonctions continues bornées, et un espace mesurable par son algèbre des classes de fonctions mesurables bornées. Dans les cas favorables, ces outils algébriques n’utilisent pas explicitement la commutativité des algèbres de fonctions, ou des outils plus algébriques équivalents existent, ce qui rend alors possible l’étude des algèbres non commutatives du même type à l’aide de ces outils algébriques, sans avoir à mentionner d’espace sous-jacent.

Cette démarche est largement encouragées par de nombreux résultats mathématiques : caractérisations des algèbres de von Neumann commutatives, théorème de Gelfand-Naïmark sur les $C^\ast$-algèbres, théorème de Serre-Swan sur les fibrés, cohomologie cyclique de l’algèbre $C^\infty(M)$, relations entre opérateurs de Dirac et métriques riemanniennes, $K$-théorie des $C^\ast$-algèbres…

On trouvera dans mon exposé de Peyresq, An informal introduction to the ideas and concepts of noncommutative geometry (sur la page de mes publications), une introduction sur tous ces points, en particulier sur les objets mathématiques de nature géométrique qui admettent une généralisation non commutative.

Gravitation et géométrie non commutative.

Comme il a été rappelé ci-dessus, une des motivations fortes de la géométrie non commutative est d’obtenir un cadre mathématique cohérent dans lequel il serait possible d’écrire une gravitation quantique. Il s’agit donc de généraliser le formalisme utilisé dans le cadre de la relativité générale d’Einstein à des situations opératorielles.

Une première étape dans cette direction consiste d’abord, dans l’esprit de la géométrie non commutative, à considérer les notions ordinaires de la géométrie riemannienne de façon plus algébrique, et d’envisager ensuite de se passer de la commutativé de l’algèbre des fonctions $C^\infty$.

Les travaux que j’ai menés dans cette direction consistaient à étudier une notion de connexions linéaires non commutatives. Les connexions linéaires sont, dans le formalisme de la relativité générale, l’objet mathématique derrière les symboles de Christoffel.

La définition en elle-même des connexions linéaires non commutatives ne pose pas de problème, car elle est déjà de nature très algébrique en géométrie ordinaire. Dans différents articles, avec quelques collaborateurs, nous avons travaillé sur des considérations générales à propos de ces aspects algébriques. Ensuite, nous avons mené des explorations plus précises sur des géométries non commutatives très diverses : algèbres des matrices, plans quantiques, groupes quantiques…

De tous ces travaux, il ressort que les contraintes non commutatives sont tellement fortes que l’espace des connexions linéaires se réduit très souvent à un espace de paramètres de dimension finie. Cette situation est peu satisfaisante dans l’espoir de faire de la relativité générale au « sens ordinaire ».

Tant que des situations moins triviales ne seront pas trouvées, ceci handicape considérablement les possibilités de trouver des modèles de gravité quantique quelque peu réalistes par cette démarche.

Relations entre la géométrie non commutative et la géométrie ordinaire.

La géométrie non commutative se veut une généralisation de la géométrie différentielle ordinaire. Aussi, il n’est pas surprenant de s’attendre à ce qu’elle permette de reconsidérer les objets de la géométrie ordinaire dans son propre langage. C’est dans cette direction que j’ai mené une bonne part de mes travaux de recherches, en collaboration avec M. Dubois-Violette ou E. Sérié. On trouvera dans Noncommutative generalization of $SU(n)$-principal fiber bundles : a review (sur la page de mes publications) une revue de l’ensemble de ce qui a été considéré jusqu’à présent sur ce sujet.

Le point de départ de ces recherches consistait à généraliser des travaux antérieurs sur la géométrie non commutative basées sur les dérivations de l’algèbre des fonctions à valeurs matricielles. Cette algèbre, étudiée par M. Dubois-Violette, R. Kerner et J. Madore, avait montré que la partie purement non commutative (l’algèbre des matrices) renfermait, du point de vue des théories de jauge non commutative, des degrés de liberté assimilables, au moins dans des modèles simples, à des champs de Higgs.

La généralisation choisie repose sur la constatation que cette algèbre de fonctions à valeurs matricielles, isomorphe à $C^\infty(M)\otimes M_n(\mathbb{C})$ ($M$ est une variété), n’est rien d’autre que l’algèbre des endomorphismes du fibré vectoriel $M \times \mathbb{C}^n$. Dans cette situation, ce fibré est trivial. Nous avons donc amorcé l’étude de la géométrie non commutative basée sur les dérivations de l’algèbre des endomorphismes d’un fibré vectoriel orientable $E$ de fibre $\mathbb{C}^n$, qu’on notera de façon générale $A$ par la suite. Le groupe de structure d’un tel fibré pouvant être réduit à $SU(n)$, nous avons souvent appelé cette algèbre l’algèbre des endomorphismes d’un fibré $SU(n)$.

Nous avons montré que l’aspect non trivial du fibré $E$ modifiait en substance certain des résultats obtenus pour l’algèbre des fonctions à valeurs dans les matrices. Par exemple, et ceci joue une rôle crucial par la suite, l’algèbre de Lie des dérivations de cette dernière algèbre se scinde, en tant qu’algèbre de Lie et module sur le centre, en une partie purement non commutative (liée aux dérivations intérieures de l’algèbre des matrices) et une partie géométrique (l’algèbre de Lie des champs de vecteurs sur $M$). Cette décomposition canonique permet de considérablement simplifier l’analyse de cette géométrie. Au contraire, dans le cas de l’algèbre associée à un fibré $E$ non trivial, cette décomposition n’a plus lieu. Cependant, nous avons montré qu’une connexion ordinaire sur $E$ permet de scinder l’algèbre de Lie des dérivations en tant que module sur le centre, mais pas en tant qu’algèbre de Lie, en une composante non commutative (le sous espace des dérivations intérieures de l’algèbre) et une composante “commutative” (l’algèbre de Lie des champs de vecteurs sur $M$). L’obstruction à la possibilité de scinder cette algèbre de Lie en tant qu’algèbre de Lie est exactement mesurée par la courbure de la connexion choisie.

Le résultat essentiel que nous avons obtenu est que l’espace des connexions ordinaires sur $E$ est un sous espace des connexions non commutatives de cette algèbre des endomorphismes. Les degrés de liberté ainsi disponibles en sus de ceux d’une connexion ordinaire sont, comme dans le cas trivial, assimilables à des champs de Higgs.

D’autre part, il est possible et naturel de relier cette géométrie à l’algébroïde de Lie d’Atiyah sur $M$.

Cette algèbre d’endomorphisme généralise convenablement, sur de nombreux points, la géométrie ordinaire du fibré principal $P$ associé à $E$. La possibilité de relier entre elles ces deux géométries repose sur l’utilisation de travaux antérieurs sur les sous variétés non commutatives et les variétés quotients non commutative dans le cadre des calculs différentiels basés sur les dérivations. En effet, on peut considérer que les deux géométries mentionnées, la géométrie ordinaire de $P$ et la géométrie non commutative de $A$, sont des géométries de “variétés quotient non commutatives” de la géométrie non commutative de l’algèbre $B$ des fonctions sur $P$ à valeurs dans $M_n(\mathbb{C})$ (cette dernière géométrie est triviale au sens du fibré vectoriel sous-jacent).

On peut ainsi montrer que la ré-écriture des connexions ordinaires, comme connexions non commutatives dans le cadre de l’algèbre $A$, complète parfaitement le schéma géométrique habituel des connexions, qui consistait jusqu’à présent à les définir comme formes sur $P$ (équivariantes et horizontales, à valeurs dans une algèbre de Lie) ou comme une famille de formes locales sur $M$ (à valeurs dans une algèbre de Lie et satisfaisant à des relations de recollement non homogènes) (voir mon polycopié sur la géométrie différentielle ordinaire), en définissant une telle connexion comme forme non commutative globale sur $M$ “à valeurs dans $A$”. Au niveau des courbures, cette dernière caractérisation existait auparavant ($2$-formes sur $M$ à valeurs dans un fibré associé à $P$). On peut montrer que la forme de connexion peut elle aussi se définir à ce niveau intermédiaire (entre une notion locale sur $M$ et une notion globale sur $P$) en ayant recourt à des structures non commutatives.

La structure de l’espace de cohomologie des formes différentielles non commutatives a été aussi considérée, et il peut être démontré une généralisation non commutative du théorème de Leray sur la cohomologie d’un fibré principal.

Par la suite, cette algèbre a permis de définir et d’étudier la notion de connexions non commutatives invariantes sur cette géométrie non commutative. Les connexions (ordinaires) invariantes jouent un rôle important en géométrie ordinaire et en physique des théories de jauge non abéliennes. En effet, elles permettent bien souvent de trouver des solutions explicites des équations du mouvement en présence d’un principe de symétrie réduisant considérablement les degrés de liberté.

La définition que nous avons prises pour les connexions non commutatives invariantes sous l’action d’un groupe de Lie est une généralisation de la notion habituelle, au sens où l’espace des connexions non commutatives contient l’espace (affine) des connexions ordinaires, et que les deux notions de connexions invariantes coïncident sur ce sous espace.

Il est alors possible de caractériser l’espace des connexions non commutatives invariantes. La démarche consiste à regarder les connexions non commutatives invariantes comme des objets au niveau de la grande algèbre $B$. L’espace des connexions non commutatives invariantes est alors constitué de deux parties : une algèbre et son calcul différentiel, et un module sur cette algèbre. On retrouve ainsi la décomposition usuelle en une partie “connexion réduite” et une autre partie “champs scalaires”. Le langage géométrico-algébrique permet de considérer et de manipuler ces objets de façon beaucoup plus aisée que dans le cas de la géométrie ordinaire.

Dans mon exposé Noncommutative generalization of $SU(n)$-principal fiber bundles : a review (sur la page de mes publications), on trouvera une revue complète de tous ces travaux. En particulier, j’ai insisté sur le lien entre la géométrie ordinaire $P$ et la géométrie non commutative de $A$. Dans cet exposé, on trouvera aussi des résultats (non publiés par ailleurs) sur la façon de définir les classes caractéristiques de $E$ en terme de l’algèbre de Lie des dérivations de $A$. En effet, l’obstruction au fait que cette algèbre de Lie se scinde en tant qu’algèbre de Lie contient les informations permettant de calculer les classes caractéristiques de $E$. Cette démarche repose sur la notion de classes de cohomologie associées à une suite exacte courte d’algèbres de Lie, définie et étudiée par Lecomte.

Cette géométrie non commutative constitue un outil idéal pour le physicien désireux de considérer des modèles de type Yang-Mills-Higgs. En effet, la géométrie différentielle des théories de jauge sur des fibrés $SU(n)$ est une sous géométrie d’une géométrie non commutative de l’algèbre des endomorphismes de $E$. Cette caractérisation des théories de jauge permet de mieux comprendre l’origine et la place des champs de Higgs vis-à-vis de la géométrie ordinaire, puisqu’ils s’interprètent, de façon tout à fait naturelle, comme les degrés de liberté dans les directions purement non commutatives de la géométrie de cette algèbre d’endomorphismes. Ils s’agit donc d’une partie non visible de la géométrie usuelle. Il faut noter que le modèle standard élaboré par A. Connes place les champs de Higgs dans un contexte mathématique très semblable.

La géométrie non commutative et les théories des champs.

L’un des thèmes de recherches les plus développés dans le domaine de la géométrie non commutative concerne les théories de jauge non commutatives. Rappelons que pour définir une telle théorie, c’est à dire définir des connexions non commutatives, il faut trois ingrédients :

  • une algèbre associative $A$, souvent unitale pour des raisons pratiques ;
  • un calcul différentiel qui jouera le rôle de “géométrie différentielle non commutative”, sans lequel la notion de formes différentielles ne prend pas de sens ;
  • un module à droite sur l’algèbre $A$, qui sert de support à l’action de la connexion non commutative (dans les modèles de physique des particules, il correspond à l’espace des champs de matière).

Bien souvent, on simplifie le problème, tout en conservant une grande généralité, en prenant pour module sur $A$ l’algèbre $A$ elle-même, considérée comme module à droite sur elle-même.

C’est par exemple avec cette démarche qu’il est naturel d’étudier les connexions ordinaires comme connexions non commutatives sur l’algèbre des endomorphismes d’un fibré $SU(n)$, évoquées ci-dessus.

Ce thème de recherche sur les théories de jauges non commutatives est largement motivé par un résultat pionnier de M. Dubois-Violette, R. Kerner et J. Madore sur l’algèbre des matrices, qui avait démontré que dans des modèles simples, ces théories de jauge contiennent des champs identifiables à des champs de Higgs.

Une autre direction possible de recherche repose sur la constatation que les équivalents non commutatifs des théories de jauge abéliennes sont des théories de jauge non commutatives dont les degrés de libertés s’interprètent comme des champs de jauge non abéliens ! Par exemple, en prenant l’algèbre $A$ comme module sur elle-même, la structure non commutative de $A$ correspond, en un certain sens, au groupe de jauge : dans le cas $A = C^\infty(M) \otimes M_n(\mathbb{C})$, on trouve pour groupe de jauge $C^\infty(M) \otimes SU_n(\mathbb{C})$, ce qui rapproche la théorie de jauge (non commutative) considérée d’une théorie de jauge de type Yang-Mills avec comme groupe de structure $SU(n)$. Or, prendre l’algèbre elle-même dans le cadre commutatif ($A = C^\infty(M)$) revient à considérer une théorie abélienne de type Maxwell !

Dans cet esprit, il est possible d’introduire des théories de type Born-Infeld non abéliennes. En effet, le caractère non commutatif de l’algèbre $A = C^\infty(M) \otimes M_n(\mathbb{C})$ correspond au caractère non abélien, et il est possible de généraliser, dans une démarche purement non commutative, l’équivalent de l’action (abélienne) de Born-Infeld.

Ainsi, dans l’esprit de cette démarche, le calcul explicite du lagrangien dans le cas $SU(2)$ a été mené, ainsi qu’une étude (numérique) des solutions statiques à symétrie sphérique de cette action de Born-Infeld. Le résultat est qu’il existe une famille à un paramètre de solutions d’énergie finie, dont il est possible de décrire les propriétés essentielles.

Il est possible de réduire le type de lagrangien considéré précédemment à un ansatz ne faisant intervenir qu’un seul champ scalaire. L’action obtenue est de type Dirac-Born-Infeld. Un étude a été menée sue les solutions de cette action, dans des cas simples à symétrie sphérique. Il en ressort que ces solutions ne sont pas stables.

Dans une toute autre démarche, il est possible et souhaitable d’appliquer la technologie des calculs différentiels basés sur les dérivations à l’algèbre de Moyal, afin d’étudier les conséquences possibles, au niveau des théories de jauge, du choix de ce calcul. En effet, l’algèbre de Moyal, qu’on peut considérer sur certains points comme une algèbre généralisant l’algèbre des matrices $M_n(\mathbb{C})$ largement évoquées ci-dessus, n’admet que des dérivations intérieures. Or, le calcul différentiel basé sur les dérivations qui a été utilisé jusqu’à présent dans ce cadre, n’utilise pour espace de dérivations qu’un espace de dimension deux (pour simplifier, je ne traite ici que de l’algèbre de Moyal sur $\mathbb{R}^2$) : les “dérivées” dans les directions usuelles de $\mathbb{R}^2$. Comme l’algèbre complète des dérivations est de dimension infinie, il semble très restrictif de ne considérer que ces deux directions. Un choix tout aussi naturel serait de considérer une algèbre de Lie de dimension $5$, où, aux deux dérivations précédentes, on ajoute les directions du groupe des symplectomorphismes. Cette algèbre de Lie est la plus grande sous algèbre de Lie des dérivations de l’espace de Moyal pour laquelle les dérivations sont aussi des champs de vecteurs usuels sur les fonctions ordinaires (incluses dans l’algèbre de Moyal). Une étude des théories de jauge, dans cette situation a été menée. Elle a montré que les degrés de liberté supplémentaires introduits sur les champs de jauge dans ces trois nouvelles directions pouvaient jouer le rôle de champs de Higgs, tout comme pour l’algèbre des matrices.

Les mathématiques de la géométrie non commutative.

Il s’agit de travaux souvent à faible recouvrement, ayant eu pour motivations des considérations générales sur les fondements mathématiques de la géométrie non commutative.

En collaboration avec M. Dubois-Violette, nous avons calculé la cohomologie d’un complexe différentiel qui repose sur l’aspect purement non commutatif d’une algèbre associative $A$, et que nous avons appelé sa cohomologie basique. À cette algèbre, on associe son complexe de Hochschild à valeurs dans $\mathbb{C}$. Il existe alors sur ce complexe une opération de Cartan de l’algèbre de Lie induite par $A$ (l’espace vectoriel est $A$ et le crochet de Lie est le commutateur). La cohomologie que nous avons calculée est la cohomologie basique de cette opération. Elle était donnée en degré pair par l’algèbre des polynômes invariants sur $A$ et qu’elle était nulle en degré impair.

Il est possible de donner des définitions naturelles des notions de sous variétés non commutatives et de variétés quotient dans le cadre de la géométrie non commutative basée sur les dérivations. Pour ce faire, il faut introduire une nouvelle cohomologie, nommée cohomologie de Hochschild contrainte, qui s’obtient via un sous complexe du complexe de Hochschild ordinaire. Des exemples de sous variétés non commutatives et de variétés quotient existent dans différents contextes (l’algèbre tensorielle, l’algèbre de Heisenberg, l’algèbre des matrices, l’algèbres des fonctions à valeurs matricielles et l’algèbre du tore non commutatif…). Le plus bel exemple, et le plus utile pour les applications et la compréhension qu’il apporte, reste à ce jour celui de l’algèbre des endomorphismes d’un fibré $SU(n)$ décrit ci-dessus.

En collaboration avec M. Dubois-Violette, nous avons étudié la notion d’opérateur différentiel du premier ordre sur un bimodule en géométrie non commutative, notion initialement introduite par A. Connes. Le résultat essentiel de cette recherche est un théorème de structure pour les opérateurs différentiels du premier ordre sur un bimodule, qui les relie au calcul différentiel universel. Cette analyse généralise diverses propositions antérieures dans ce domaine.

Le calcul différentiel universel de l’algèbre des matrices a fait l’objet d’une étude approfondie (lors de ma thèse). M. Dubois-Violette avait introduit une algèbre différentielle graduée $\mathcal{T} A$ associée à toute algèbre associative unitale $A$, dont le calcul différentiel universel $\Omega_U(A)$ est une sous algèbre différentielle graduée. Il est possible de montrer qu’il existe un morphisme d’algèbres différentielles graduées de $\mathcal{T} A$ vers le complexe de Hochschild des cochaînes sur $A$ à valeurs dans $A$ (qui est une algèbre différentielle graduée pour le cup produit). Dans ce morphisme, $\Omega_U(A)$ s’envoie sur les cochaînes normalisées. Si $A$ est une algèbre centrale simple, ce morphisme est injectif. Dans le cas de l’algèbre des matrices, c’est un isomorphisme. Ce résultat permet de décrire complètement les algèbres différentielles graduées $\mathcal{T} A$, $\Omega_U(A)$ et le calcul différentiel basé sur les dérivations dans le cas $A = M_n(\mathbb{C})$.

Dans mon exposé de Peyresq, An informal introduction to the ideas and concepts of noncommutative geometry (sur la page de mes publications), on trouvera des considérations générales sur la géométrie non commutative d’un point de vue mathématique, et plus spécifiquement, j’ai essayé d’y rassembler les résultats essentiels qui permettent de fonder cette géométrie non commutative : homologie cyclique, $K$-théorie, calculs différentiels… Une part importante est consacrée à une revue synthétique du caractère de Chern, aussi bien en géométrie différentielle ordinaire qu’en géométrie non commutative. Les trois constructions essentielles aujourd’hui existantes de cet objet mathématiquement riche y sont exposées et comparées.