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On pourrait dire que ces fantaisies de théoriciens sont inoffensives, bien que poursuivies sans relâche. “Dulce est desipere in loco” (“Cela fait du bien de délirer de temps en temps”), comme disait Horace. Stephen Jay Gould Le darwinisme figé, Un hérisson dans la tempête

Mémoire HDR

Quelques aspects de la géométrie non commutative en liaison avec la géométrie différentielle

Il s’agit de mon mémoire d’Habilitation à diriger des recherches, soutenu le 17 février 2009 au LPT-Orsay.

Après une introduction en français assez générale sur la géométrie non commutative, ce texte reprend deux cours en anglais dans deux chapitres :

  • Ideas and concepts of noncommutative geometry, cours donné à Peyresq en 2006 sur la géométrie non commutative.
  • $SU(n)$-principal fiber bundles and noncommutative geometry, revue écrite à la suite d’une conférence sur l’algèbre des endomorphismes d’un fibré vectoriel $SU(n)$.

Le premier chapitre est une introductions aux $C^\ast$-algèbres, à la $K$-théorie, à l’homologie cyclique et à un large panorama sur le caractère de Chern, aussi bien en géométrie ordinaire qu’en géométrie non commutative.

Le second chapitre contient une introduction générale au calcul différentiel (non commutatif) basé sur les dérivations, puis à son application à l’algèbre des endormorphismes d’un fibré vectoriel de groupe de structure $SU(n)$. Un rappel de géométrie différentielle des fibrés vectoriels permet de bien situer la géométrie non commutative ainsi considérée, et de montrer comment elle généralise la géométrie ordinaire des fibrés $SU(n)$.

Ce mémoire est téléchargeable ici